Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 2 x^{2} + x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{3}$ a $x$ .

${(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

${(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.7

$- 2$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{2}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.3.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{1 - 6 + 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$\frac{- 5 + 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $- 5$ e $9$ .

$\frac{4}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

${(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 - 2 + 1$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27}), (1, 0)$

Passaggio 5