Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x - 2) = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Dividi $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ con $x = 2$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \frac{4}{1}$

Passaggio 4.2.3

Dividi $4$ per $1$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ sono $y = 0, y = 4$ .

$y = 0, y = 4$

Passaggio 6