Calcolo Esempi

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica ${(x - 9)}^{2}$ per $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $x - 9$ da $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $x - 9$ da $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.1

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.10

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.10.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.10.4

$6$ e $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11

Semplifica.

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Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.2.2

Moltiplica $6$ per $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3

Scomponi $6$ da $- 6 x - 54$ .

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Passaggio 1.11.3.1

Scomponi $6$ da $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3.2

Scomponi $6$ da $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3.3

Scomponi $6$ da $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.5

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.7

Riscrivi $- (x + 9)$ come $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 (x + 9) = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (x + 9) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (x + 9) = 0$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Dividi $x + 9$ per $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ con $x = - 9$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $6$ per $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $9$ da $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Passaggio 3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $324$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $54$ da $- 54$ .

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.1.2.1

Scomponi $54$ da $324$ .

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Passaggio 3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 4

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ è $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Passaggio 5