Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + \frac{54}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{54}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{54}{x}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 54 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 54 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 54 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$f' (x) = 2 x - 54 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 54 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

$- 54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 54}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{54}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{54}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $2 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{54}{x^{2}}$ nel numeratore.

$2 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 54 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} = 54$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $54$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 54 = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 54 = 0$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 54$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 27 = 0$

Passaggio 2.4.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 \cdot - 27$ .

$2 (x^{3} - 27) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$2 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$2 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$2 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.4.6

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Risolvi $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{54}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} + \frac{54}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

${(3)}^{2} + \frac{54}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 + \frac{54}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi $54$ per $3$ .

$9 + 18$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $9$ e $18$ .

$27$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{54}{0}$

Passaggio 4.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(3, 27)$

Passaggio 5