Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

Passaggio 1.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

Passaggio 1.1.7.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

Passaggio 1.1.7.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

Passaggio 1.1.7.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

Passaggio 1.1.7.3.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.1.7.3.5

Somma $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} (x^{2} - 4)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 (0 - 4)$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$0 \cdot - 4$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $- 4$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Calcola l'esponente.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (2^{1} - 4)$

Passaggio 4.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$2 (2 - 4)$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sottrai $4$ da $2$ .

$2 \cdot - 2$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (2^{1} - 4)$

Passaggio 4.3.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$2 (2 - 4)$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Sottrai $4$ da $2$ .

$2 \cdot - 2$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 5