Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{3 x - 2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{3 x - 2}$ come ${(3 x - 2)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 2$ .

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

Passaggio 1.1.3.7.2

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.4.2.1

$- 15$ e $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$15 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $15 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{5}{3 x - 2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{2}{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{2}{3}$ a $x$ .

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{2 - 2}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{5}{0}$

Passaggio 4.1.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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