Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - x^{2}}$ come ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Passaggio 1.1.9

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Passaggio 1.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Passaggio 1.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.1.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Passaggio 1.1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Passaggio 1.1.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Passaggio 1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - x^{2}}$ come ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(25 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$25 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$25 - x^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 25$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 25$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Passaggio 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 3.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 5$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5$

Passaggio 3.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5$

Passaggio 3.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5, - 5$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{25 - x^{2}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$25 - x^{2} < 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 25$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 25$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$x^{2} > 25$

Passaggio 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{25}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{25}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| x | > \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 5 |$

Passaggio 3.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$| x | > 5$

Passaggio 3.5.5

Scrivi $| x | > 5$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 3.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 5$

Passaggio 3.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 3.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 5$

Passaggio 3.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 5 & x \geq 0 \\ - x > 5 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 3.5.6

Trova l'intersezione di $x > 5$ e $x \geq 0$ .

$x > 5$

Passaggio 3.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.3.1

Dividi $5$ per $- 1$ .

$x < - 5$

Passaggio 3.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 5$ o $x > 5$

Passaggio 3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{25 - x^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\sqrt{25 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{25 - 0}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\sqrt{25 + 0}$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $25$ e $0$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 4.1.2.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 5$ .

$\sqrt{25 - {(- 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai $25$ da $25$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $5$ .

$\sqrt{25 - {(5)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $25$ da $25$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 5), (- 5, 0), (5, 0)$

Passaggio 5