Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 1.1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 1}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 1 < 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} < 1$

Passaggio 3.5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < \sqrt{1}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | < 1$

Passaggio 3.5.4

Scrivi $| x | < 1$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 3.5.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x < 1$

Passaggio 3.5.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 3.5.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x < 1$

Passaggio 3.5.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 3.5.5

Trova l'intersezione di $x < 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Passaggio 3.5.6

Risolvi $- x < 1$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.6.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x > - 1$

Passaggio 3.5.6.2

Trova l'intersezione di $x > - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Passaggio 3.5.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 < x < 1$

Passaggio 3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x^{2} - 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$i$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - 1}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Passaggio 5