Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ da ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$r = \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.5

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.2.2

Combina.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ nel numeratore.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Scomponi $4$ da $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.5

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.8

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.9

$4$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.11.1

Moltiplica $4$ per $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11.2

Sottrai $1$ da $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Passaggio 5.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.8.1

Scomponi $3$ da $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1365}{1024}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1365}{1024}$

Forma decimale:

$1.33300781 \dots$

Forma numero misto:

$1 \frac{341}{1024}$