Calcolo Esempi

$f (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Passaggio 1.1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Passaggio 1.1.12.2

$- 2$ e $\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 1.1.12.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 1.1.12.4

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{4 - x^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{4 - x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (4 - x^{2}) = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 \cdot 4 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.6.1

Moltiplica $27$ per $4$ .

$108 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$108 - 27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$108 - 27 x^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $108$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 27 x^{2} = - 108$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $- 27$ ciascun termine in $- 27 x^{2} = - 108$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $- 27$ ciascun termine in $- 27 x^{2} = - 108$ .

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 108}{- 27}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 108$ per $- 27$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 3.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 3.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 3.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 4

Risolvi ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(4 - 0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

${(4 + 0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$4^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{2}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(4 - {(2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 4^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 5