Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.4.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x + 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.5.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.5.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.5.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 1.1.5.11

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.6.4.7

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Passaggio 1.1.6.4.8

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Passaggio 1.1.6.4.9

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

Passaggio 1.1.6.4.10

Sottrai $8 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

Passaggio 1.1.6.4.11

Somma $1$ e $6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 10 x + 7$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 3$ più $- 7$ .

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 7$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (3 x - 7) = 0$ vera.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{2} ((1) - 3)$

Passaggio 4.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 ((1) - 3)$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $3$ da $1$ .

$0 \cdot - 2$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{7}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\frac{7}{3}$ .

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.4.2

Sottrai $3$ da $7$ .

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Passaggio 4.2.2.8

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 4.2.2.9

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Passaggio 4.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.11.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

Passaggio 4.2.2.11.2

Sottrai $9$ da $7$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Passaggio 4.2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.2.13

Moltiplica $\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.13.1

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.13.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.13.3

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- \frac{32}{27}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

Passaggio 5