Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 5)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{4}{5}$ e ${(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4}{5 \sqrt[5]{{(x + 5)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4}{5 \sqrt[5]{x + 5}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x + 5}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 \sqrt[5]{x + 5} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${(5 \sqrt[5]{x + 5})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$3125 {({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3125 {(x + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3125 {(x + 5)}^{1} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$3125 (x + 5) = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$3125 x + 3125 \cdot 5 = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $3125$ per $5$ .

$3125 x + 15625 = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3125 x + 15625 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $15625$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3125 x = - 15625$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = - 15625$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = - 15625$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{- 15625}{3125}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{- 15625}{3125}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 15625}{3125}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 15625$ per $3125$ .

$x = - 5$

Passaggio 4

Risolvi ${(x + 5)}^{\frac{4}{5}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

${((- 5) + 5)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$0^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 5, 0)$

Passaggio 5