Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 8)}^{2} (x + 9)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x - 8)}^{2}$ come $(x - 8) (x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 8) (x - 8) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x - 8) (x - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 8) - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x - 8 x + 64) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $8 x$ da $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 16 x + 64) (x + 9)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 16 x + 64$ e $g (x) = x + 9$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5.4.2

Moltiplica $x^{2} - 16 x + 64$ per $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Passaggio 1.1.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16 x + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Passaggio 1.1.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Passaggio 1.1.5.7

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64])$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64])$

Passaggio 1.1.5.9

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} [64])$

Passaggio 1.1.5.10

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + 0)$

Passaggio 1.1.5.11

Somma $2 x - 16$ e $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.5

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.6

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 \cdot x + 9 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.6.4.7

Moltiplica $9$ per $- 16$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 x - 144$

Passaggio 1.1.6.4.8

Sottrai $16 x$ da $18 x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 2 x - 144$

Passaggio 1.1.6.4.9

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 16 x + 64 + 2 x - 144$

Passaggio 1.1.6.4.10

Somma $- 16 x$ e $2 x$ .

$3 x^{2} - 14 x + 64 - 144$

Passaggio 1.1.6.4.11

Sottrai $144$ da $64$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 80$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 14 x - 80$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 80 = - 240$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 14$ come $10$ più $- 24$ .

$3 x^{2} + (10 - 24) x - 80 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 10 x - 24 x - 80 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + 10 x) - 24 x - 80 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 10) - 8 (3 x + 10) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 10$ .

$(3 x + 10) (x - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x + 10$ uguale a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x + 10 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 10$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 10$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{10}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 10) (x - 8) = 0$ vera.

$x = - \frac{10}{3}, 8$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(x - 8)}^{2} (x + 9)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{10}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{10}{3}$ a $x$ .

${((- \frac{10}{3}) - 8)}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.2

$- 8$ e $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{- 10 - 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

${(\frac{- 10 - 24}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.4.2

Sottrai $24$ da $- 10$ .

${(\frac{- 34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(- \frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $\frac{34^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.9

Eleva $34$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1156}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1156}{9} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Passaggio 4.1.2.11

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 4.1.2.12

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Passaggio 4.1.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 9 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 27}{3}$

Passaggio 4.1.2.14.2

Somma $- 10$ e $27$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $\frac{1156}{9}$ per $\frac{17}{3}$ .

$\frac{1156 \cdot 17}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $1156$ per $17$ .

$\frac{19652}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.15.3

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{19652}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $8$ a $x$ .

${((8) - 8)}^{2} ((8) + 9)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$0^{2} ((8) + 9)$

Passaggio 4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 ((8) + 9)$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $8$ e $9$ .

$0 \cdot 17$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $0$ per $17$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{10}{3}, \frac{19652}{27}), (8, 0)$

Passaggio 5