Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Espandi $(2 x - 6) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.4

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.5

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.3

Somma $- 8 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.4

Sottrai $1$ da $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Scomponi $x^{2} - 6 x + 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 1.1.4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 5, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $5$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{16}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Dividi $16$ per $2$ .

$8$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Dividi $0$ per $- 2$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Passaggio 4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(5, 8), (1, 0)$

Passaggio 5