Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.4

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.6

Riscrivi $- (x - 6)$ come $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.3

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 6}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x - 3}{x^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 6$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $6$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{36}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Passaggio 4.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Passaggio 4.2.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(6, \frac{1}{12})$

Passaggio 5