Calcolo Esempi

$f (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 4 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.1.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.1.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.1.11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + 0)$

Passaggio 1.1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 4$

Passaggio 1.1.12.2

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ e $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.12.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $8 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{4 x - 5} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{4 x - 5})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 x - 5}$ come ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(4 x - 5)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (4 x - 5) = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 (4 x) + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.6.1

Moltiplica $4$ per $27$ .

$108 x + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6.2

Moltiplica $27$ per $- 5$ .

$108 x - 135 = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$108 x - 135 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Somma $135$ a entrambi i lati dell'equazione.

$108 x = 135$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $108$ ciascun termine in $108 x = 135$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $108$ ciascun termine in $108 x = 135$ .

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{135}{108}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $135$ e $108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.1

Scomponi $27$ da $135$ .

$x = \frac{27 (5)}{108}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2.1

Scomponi $27$ da $108$ .

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Risolvi ${(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{5}{4}$ a $x$ .

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{2}$

Passaggio 4.1.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{5}{4}, 0)$

Passaggio 5