Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{7}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x)$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$

Passaggio 1.1.2.4.3

Riordina i fattori di $14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x^{2} - 4)}^{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x^{2} - 4)}^{6}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

${(x - 2)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Imposta ${(x + 2)}^{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Imposta ${(x + 2)}^{6}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.3.2

Risolvi ${(x + 2)}^{6} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4.2.4

Imposta ${(x - 2)}^{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Imposta ${(x - 2)}^{6}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2.4.2

Risolvi ${(x - 2)}^{6} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2.4.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(x^{2} - 4)}^{7}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{7}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 - 4)}^{7}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

${(- 4)}^{7}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $7$ .

$- 16384$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{7}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{7}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{7}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{7}$

Passaggio 4.3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 16384), (- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 5