Calcolo Esempi

$f (x) = (4 x - 6) (5 x + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x - 6$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

$(4 x - 6) \frac{d}{d x} [5 x + 1] + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(4 x - 6) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 6) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x - 6) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(4 x - 6) (5 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x - 6) (5 + 0) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$(4 x - 6) \cdot 5 + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $4 x - 6$ .

$5 \cdot (4 x - 6) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.2.11

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + 0)$

Passaggio 1.1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) \cdot 4$

Passaggio 1.1.2.12.2

Sposta $4$ alla sinistra di $5 x + 1$ .

$5 (4 x - 6) + 4 \cdot (5 x + 1)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x + 1)$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3.2

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$20 x - 30 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4$

Passaggio 1.1.3.3.5

Somma $20 x$ e $20 x$ .

$40 x - 30 + 4$

Passaggio 1.1.3.3.6

Somma $- 30$ e $4$ .

$f' (x) = 40 x - 26$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $40 x - 26$ .

$40 x - 26$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $40 x - 26 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$40 x - 26 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $26$ a entrambi i lati dell'equazione.

$40 x = 26$

Passaggio 2.3

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 x = 26$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 x = 26$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{26}{40}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $26$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $26$ .

$x = \frac{2 (13)}{40}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $40$ .

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{13}{20}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $(4 x - 6) (5 x + 1)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{13}{20}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{13}{20}$ a $x$ .

$(4 (\frac{13}{20}) - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$(4 \frac{13}{4 (5)} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$(4 \frac{13}{4 \cdot 5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{13}{5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} - 6 \cdot \frac{5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.3

$- 6$ e $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} + \frac{- 6 \cdot 5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{13 - 6 \cdot 5}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $5$ .

$\frac{13 - 30}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $30$ da $13$ .

$\frac{- 17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Passaggio 4.1.2.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 (4)} + 1)$

Passaggio 4.1.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 \cdot 4} + 1)$

Passaggio 4.1.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + 1)$

Passaggio 4.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + \frac{4}{4})$

Passaggio 4.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{13 + 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.8.3

Somma $13$ e $4$ .

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $\frac{17}{4}$ per $\frac{17}{5}$ .

$- \frac{17 \cdot 17}{4 \cdot 5}$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $17$ per $17$ .

$- \frac{289}{4 \cdot 5}$

Passaggio 4.1.2.9.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$- \frac{289}{20}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{13}{20}, - \frac{289}{20})$

Passaggio 5