Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.5.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2.3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.2.4

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{x^{2} - 9}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} - 9}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{0 - 9}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{1}{- 9}$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{1}{{(- 3)}^{2} - 9}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{1}{0}$

Passaggio 4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{1}{{(3)}^{2} - 9}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{1}{0}$

Passaggio 4.3.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - \frac{1}{9})$

Passaggio 5