Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{x + 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 3$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{1}{(- 3) + 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$\frac{1}{0}$

Passaggio 4.1.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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