Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{3} x^{3} - x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} - (1)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} - 1$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1 - 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} - (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} - (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - \frac{2}{3}), (- 1, \frac{2}{3})$

Passaggio 5