Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2} + 25}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25 + 25}{- 5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $25$ e $25$ .

$\frac{50}{- 5}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi $50$ per $- 5$ .

$- 10$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25 + 25}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Somma $25$ e $25$ .

$\frac{50}{5}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $50$ per $5$ .

$10$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

Passaggio 4.3.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

Passaggio 5