Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 36 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 36$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 36$ .

$x^{2} - 36$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 36 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 36 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 36$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 6$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 6$

Passaggio 2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 6$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 6, - 6$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 6$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $6$ a $x$ .

$\frac{{(6)}^{3}}{3} - 36 \cdot 6$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{216}{3} - 36 \cdot 6$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi $216$ per $3$ .

$72 - 36 \cdot 6$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $6$ .

$72 - 216$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $216$ da $72$ .

$- 144$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 6$ a $x$ .

$\frac{{(- 6)}^{3}}{3} - 36 \cdot - 6$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 216}{3} - 36 \cdot - 6$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $- 216$ per $3$ .

$- 72 - 36 \cdot - 6$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $- 6$ .

$- 72 + 216$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 72$ e $216$ .

$144$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(6, - 144), (- 6, 144)$

Passaggio 5