Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 9$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $x^{2} - 10 x + 9$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $9$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 9, - 1$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 9) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 9, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $9$ a $x$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $9$ da $81$ .

$\frac{72}{9 - 5}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $5$ da $9$ .

$\frac{72}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Dividi $72$ per $4$ .

$18$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$\frac{- 8}{1 - 5}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{- 8}{- 4}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Dividi $- 8$ per $- 4$ .

$2$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

Passaggio 4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(9, 18), (1, 2)$

Passaggio 5