Calcolo Esempi

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $50 x$ e $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Passaggio 1.1.2.6.2

$50$ e $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Passaggio 1.1.2.6.3

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ e $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Moltiplica $25$ per $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Moltiplica $50$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $50 x$ da $1250 x^{3} - 200 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $50 x$ da $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scomponi $50 x$ da $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Passaggio 2.3.1.1.3

Scomponi $50 x$ da $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi $25 x^{2}$ come ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5 x$ e $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Passaggio 2.3.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Passaggio 2.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.4

Imposta $5 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Imposta $5 x + 2$ uguale a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Risolvi $5 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - 2$

Passaggio 2.3.4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.5

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Risolvi $5 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 2$

Passaggio 2.3.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Passaggio 3.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$25 x^{2} = 4$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 x^{2} = 4$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Passaggio 3.2.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{25}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Passaggio 3.2.6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 3.2.6.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Passaggio 3.2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 3.2.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2}{5}$

Passaggio 3.2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Passaggio 4

Risolvi $| 25 x^{2} - 4 |$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $25$ per $0$ .

$| 0 - 4 |$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$| - 4 |$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 4$ e $0$ è $4$ .

$4$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{2}{5}$ a $x$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ per $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$| 4 - 4 |$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$| 0 |$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{2}{5}$ a $x$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| 4 - 4 |$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$| 0 |$

Passaggio 4.3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Passaggio 5