Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.6.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $2 x^{2} - 2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

$2 x^{2} - 2 x - 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 2, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 2$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16}{3} - {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{16}{3} - 4 - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{16}{3} - 4 - 8 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4}{1} - 8 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - 8 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.4

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.7

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 - 4 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{16 - 12 - 8 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{16 - 12 - 24 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{16 - 12 - 24 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $12$ da $16$ .

$\frac{4 - 24 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $24$ da $4$ .

$\frac{- 20 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $- 20$ e $6$ .

$\frac{- 14}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{14}{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{1 + 2} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2}{3} + {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2}{3} - 1 - 4 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{3} - 1 + 4 + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{1} + 4 + 2$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4 + 2$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 4 + 2$

Passaggio 4.2.2.2.4

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 2$

Passaggio 4.2.2.2.5

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 2$

Passaggio 4.2.2.2.7

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.8

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.9

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 - 1 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12 + 6}{3}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$\frac{- 5 + 12 + 6}{3}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 5$ e $12$ .

$\frac{7 + 6}{3}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Somma $7$ e $6$ .

$\frac{13}{3}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - \frac{14}{3}), (- 1, \frac{13}{3})$

Passaggio 5