Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $\frac{16}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.7.2

${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{{(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Passaggio 1.1.7.4

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 1.1.7.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.1.10

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$16 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $16 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}$ come ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$9^{3} {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$729 {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$729 {(x - 6)}^{4} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$729 {(x - 6)}^{4} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $729$ ciascun termine in $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Dividi per $729$ ciascun termine in $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ .

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 6)}^{4}$ per $1$ .

${(x - 6)}^{4} = \frac{0}{729}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $729$ .

${(x - 6)}^{4} = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.3.3.3

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $6$ a $x$ .

$\frac{16}{3 {((6) - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{16}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{1}}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Calcola l'esponente.

$\frac{16}{3 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{16}{0}$

Passaggio 4.1.2.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{16}{0}$

Passaggio 4.1.2.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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