Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $24 x^{2} - 36 x - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{1}{2}$ .

$8 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$8 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 (- \frac{1}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 (- \frac{1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$8 (\frac{- 1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{- 1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$- 1 - 18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 18 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 18 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.8

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- 1 - 18 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 - 18 \frac{1}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 18 (\frac{1}{4}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$- 1 + 2 (- 9) \frac{1}{4} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.11.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 1 + 2 \cdot - 9 \frac{1}{2 \cdot 2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$- 1 + 2 \cdot - 9 \frac{1}{2 \cdot 2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 9 (\frac{1}{2}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.12

$- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 1 + \frac{- 9}{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 1 - \frac{9}{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$- 1 - \frac{9}{2} - 24 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$- 1 - \frac{9}{2} + 2 (- 12) \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 4.1.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$- 1 - \frac{9}{2} + 2 \cdot - 12 \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 4.1.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - \frac{9}{2} - 12 \cdot - 1 + 8$

Passaggio 4.1.2.1.15

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$- 1 - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1}{1} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Passaggio 4.1.2.2.4

Scrivi $12$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12}{1} + 8$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12}{1} \cdot \frac{2}{2} + 8$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + 8$

Passaggio 4.1.2.2.7

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 9 + 12 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 12 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 24 + 8 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 24 + 16}{2}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $9$ da $- 2$ .

$\frac{- 11 + 24 + 16}{2}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $- 11$ e $24$ .

$\frac{13 + 16}{2}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $13$ e $16$ .

$\frac{29}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$8 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$64 - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$64 - 18 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 8$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 18$ per $4$ .

$64 - 72 - 24 \cdot 2 + 8$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$64 - 72 - 48 + 8$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $72$ da $64$ .

$- 8 - 48 + 8$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $48$ da $- 8$ .

$- 56 + 8$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 56$ e $8$ .

$- 48$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{1}{2}, \frac{29}{2}), (2, - 48)$

Passaggio 5