Calcolo Esempi

$f (x) = - 5 x^{2} + 4 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 x + 4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 10 x + 4$ e $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 x + 4$ .

$- 10 x + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 x + 4 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 10 x = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = - 4$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 10}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $- 10$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$x = \frac{- 2 (2)}{- 10}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{2}{5}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{2}{5}$ a $x$ .

$- 5 {(\frac{2}{5})}^{2} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$- 5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 5 (\frac{4}{25}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{4}{25} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{4}{5})$ come $- (\frac{4}{5})$ .

$- (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $4 (\frac{2}{5})$ .

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Passaggio 4.1.2.1.6.1

$4$ e $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{4}{5} + \frac{4 \cdot 2}{5} - 1$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} - 1$

Passaggio 4.1.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 1 + \frac{- 4 + 8}{5}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 4$ e $8$ .

$- 1 + \frac{4}{5}$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- 1 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5}$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 5 + 4}{5}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 + 4}{5}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Somma $- 5$ e $4$ .

$\frac{- 1}{5}$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$

Passaggio 5