Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} + 15 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} + 15 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{2} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$15 x^{2} + 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{2} + 15 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $15 x^{2} + 15$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 15$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{2} + 15$ .

$15 x^{2} + 15$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{2} + 15 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 x^{2} = - 15$

Passaggio 2.3

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = - 15$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = - 15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 15}{15}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 15$ per $15$ .

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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