Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$15 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{2} - 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $15 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 12 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{2} - 12 x$ .

$15 x^{2} - 12 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{2} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3 x$ da $15 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3 x$ da $15 x^{2}$ .

$3 x (5 x) - 12 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 12 x$ .

$3 x (5 x) + 3 x (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (5 x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (5 x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$5 x - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $5 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $5 x - 4$ uguale a $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $5 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 4$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 4$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (5 x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$5 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{4}{5}$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{4}{5}$ a $x$ .

$5 {(\frac{4}{5})}^{3} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$5 \frac{4^{3}}{5^{3}} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$5 \frac{64}{5^{3}} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$5 (\frac{64}{125}) - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$5 \frac{64}{5 (25)} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{64}{5 \cdot 25} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{64}{25} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{5}$ .

$\frac{64}{25} - 6 \frac{4^{2}}{5^{2}} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64}{25} - 6 \frac{16}{5^{2}} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64}{25} - 6 (\frac{16}{25}) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $- 6 (\frac{16}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.8.1

$- 6$ e $\frac{16}{25}$ .

$\frac{64}{25} + \frac{- 6 \cdot 16}{25} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

Moltiplica $- 6$ per $16$ .

$\frac{64}{25} + \frac{- 96}{25} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{64}{25} - \frac{96}{25} + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{64 - 96}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Sottrai $96$ da $64$ .

$1 + \frac{- 32}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{32}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{25}{25} - \frac{32}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 - 32}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2.5

Sottrai $32$ da $25$ .

$\frac{- 7}{25}$

Passaggio 4.2.2.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{25}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 1), (\frac{4}{5}, - \frac{7}{25})$

Passaggio 5