Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2} - 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 10 x^{2} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$20 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} - 20 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $20 x^{3} - 20 x$ e $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} - 20 x$ .

$20 x^{3} - 20 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} - 20 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$20 x^{3} - 20 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $20 x$ da $20 x^{3} - 20 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $20 x$ da $20 x^{3}$ .

$20 x (x^{2}) - 20 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $20 x$ da $- 20 x$ .

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $20 x$ da $20 x (x^{2}) + 20 x (- 1)$ .

$20 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$20 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$20 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$20 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $20 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 x^{4} - 10 x^{2} - 6$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$5 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} - 6$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 \cdot 0 - 10 {(0)}^{2} - 6$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} - 6$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 - 6$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 + 0 - 6$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 6$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$5 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$5 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 - 10 {(- 1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$5 - 10 \cdot 1 - 6$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$5 - 10 - 6$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $10$ da $5$ .

$- 5 - 6$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $6$ da $- 5$ .

$- 11$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$5 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 \cdot 1 - 10 {(1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 - 10 {(1)}^{2} - 6$

Passaggio 4.3.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 - 10 \cdot 1 - 6$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$5 - 10 - 6$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $10$ da $5$ .

$- 5 - 6$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $6$ da $- 5$ .

$- 11$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 6), (- 1, - 11), (1, - 11)$

Passaggio 5