Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{4} - 16 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 x^{3} - 16 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 16$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} - 16$ .

$20 x^{3} - 16$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} - 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$20 x^{3} - 16 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$20 x^{3} = 16$

Passaggio 2.3

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$20 x^{3} - 16 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $4$ da $20 x^{3} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $4$ da $20 x^{3}$ .

$4 (5 x^{3}) - 16 = 0$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$4 (5 x^{3}) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $4$ da $4 (5 x^{3}) + 4 (- 4)$ .

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$

Passaggio 2.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ .

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $5 x^{3} - 4$ per $1$ .

$5 x^{3} - 4 = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$5 x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 2.6

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{3} = 4$

Passaggio 2.7

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{3} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{3} = 4$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{4}{5}$

Passaggio 2.8

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.9

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ come $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 2.9.3.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 2.9.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Passaggio 2.9.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Passaggio 2.9.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5}$ come $5^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 2.9.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 2.9.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 2.9.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 2.9.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Passaggio 2.9.3.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ come $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Passaggio 2.9.4.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{25}}{5}$

Passaggio 2.9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot 25}}{5}$

Passaggio 2.9.5.2

Moltiplica $4$ per $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 x^{4} - 16 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ a $x$ .

$5 {(\frac{\sqrt[3]{100}}{5})}^{4} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$5 \frac{{\sqrt[3]{100}}^{4}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{100}}^{4}$ come $\sqrt[3]{100^{4}}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{4}}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Eleva $100$ alla potenza di $4$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100000000}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi $100000000$ come $100^{3} \cdot 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.3.1

Scomponi $1000000$ da $100000000$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{1000000 (100)}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3.2

Riscrivi $1000000$ come $100^{3}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{3} \cdot 100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{625} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $625$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 (125)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 \cdot 125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{100 \sqrt[3]{100}}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $100$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Scomponi $25$ da $100 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 (5)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 \cdot 5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.6

$- 16$ e $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} + \frac{- 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - \frac{16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \sqrt[3]{100} - 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $16 \sqrt[3]{100}$ da $4 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{- 12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{\sqrt[3]{100}}{5}, - \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5})$

Passaggio 5