Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Passaggio 1.1.6.2

Somma $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 12 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ .

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $12$ da $12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $12$ da $12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.6.1.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.6.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $12$ per $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$- 1 - 6 + 12 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$- 7 + 12 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $- 7$ e $12$ .

$5 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $5$ e $1$ .

$6$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $3$ e $4$ .

$7 - 6 - 12 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $6$ da $7$ .

$1 - 12 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$- 11 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.4

Somma $- 11$ e $1$ .

$- 10$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

Passaggio 5