Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{5}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.7

$\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.8

$3$ e $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.10

Scomponi $3$ da $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.11.4

Dividi $5 x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.3.9

$- 15$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.1.3.10

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.12

Scomponi $3$ da $- 30$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.4

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 10 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 10$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 10$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $10$ per $5$ .

$x = 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Rimuovi le parentesi.

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.1.10

Moltiplica $- 15$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Passaggio 5