Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ per $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.5.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $4 x + \frac{1}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $x$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 + 1 \cdot 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- (1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - 2$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Passaggio 4.3.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Passaggio 5