Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} = 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 4$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $4 x^{3} - 4 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.3.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$4 \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$4 \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

$4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.6

$- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $12 \sqrt{3}$ da $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.3.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$4 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- \frac{3 (\sqrt{3})}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $4 (- \frac{\sqrt{3}}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

$- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(4) \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

$4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 4 \sqrt{3}$ e $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8 \sqrt{3}}{9})$

Passaggio 5