Calcolo Esempi

$y \cos (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4 y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 4 (2 y y')$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 x + 8 y y'$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$8 y y' + 4 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 4 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 4 x$

Passaggio 5.2

Sottrai $8 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x$

Passaggio 5.3

Somma $y \sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $y' \cos (x) - 8 y y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 8 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ .

$y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Passaggio 5.5

Dividi per $\cos (x) - 8 y$ ciascun termine in $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $\cos (x) - 8 y$ ciascun termine in $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x) - 8 y$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$