Calcolo Esempi

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.8

$- 4$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.10

Scomponi $2$ da $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.2.11.4

Dividi $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Passaggio 2.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Semplifica ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.1.4

Semplifica.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$36 x = 576$

Passaggio 2.5

Dividi per $36$ ciascun termine in $36 x = 576$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $36$ ciascun termine in $36 x = 576$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Dividi $576$ per $36$ .

$x = 16$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Passaggio 3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 4

Risolvi $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $16$ a $x$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $24$ per $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $- 256$ e $384$ .

$128 + 13$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $128$ e $13$ .

$141$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(16, 141)$

Passaggio 5