Calcolo Esempi

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y (x + 1) + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $y'$ per $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$x y' + 2 x + y + y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x y' + y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y' (x + 1) = - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y' (x + 1) = - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.2.5.1

Riscrivi $- (2 x + y)$ come $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$