Calcolo Esempi

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x y^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.8

Semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Passaggio 2.8.2

Riordina i termini.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

Passaggio 5.2.1.2.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.3

Sottrai $y' e^{x^{2} + y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.4

Sottrai $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 e^{x^{2} + y}$ come $- e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Passaggio 5.7

Dividi per $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ ciascun termine in $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ e semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Dividi per $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ ciascun termine in $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$