Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{6} - 6 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{6} - 6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{6}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x^{5} - 6 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{5} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{5} - 24 x^{3}$ .

$12 x^{5} - 24 x^{3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x^{3}$ da $12 x^{5} - 24 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x^{3}$ da $12 x^{5}$ .

$12 x^{3} (x^{2}) - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x^{3}$ da $- 24 x^{3}$ .

$12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x^{3}$ da $12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2)$ .

$12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $2 x^{6} - 6 x^{4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$2 {(0)}^{6} - 6 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \cdot 0 - 6 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\sqrt{2}$ a $x$ .

$2 {(\sqrt{2})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{6}$ come $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$16 - 24$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$- 8$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- \sqrt{2}$ a $x$ .

$2 {(- \sqrt{2})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{6}$ per $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{6}$ come $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$16 - 6 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4})$

Passaggio 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$16 - 6 (1 {\sqrt{2}}^{4})$

Passaggio 4.3.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{4}$ per $1$ .

$16 - 6 {\sqrt{2}}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.1.12

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$16 - 24$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$- 8$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 8), (- \sqrt{2}, - 8)$

Passaggio 5