Calcolo Esempi

$f (x) = 12 x^{5} + 15 x^{4} - 40 x^{3} + 60$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{5} + 15 x^{4} - 40 x^{3} + 60$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{5}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $12$ .

$60 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$60 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$60 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 40$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [60]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60$ rispetto a $x$ è $0$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{4} + 60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{4}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $60 x^{2}$ da $- 120 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (x)$ .

$60 x^{2} (x^{2} + x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2} (x^{2} + x) + 60 x^{2} (- 2)$ .

$60 x^{2} (x^{2} + x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$60 x^{2} ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$60 x^{2} (x - 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $60 x^{2} (x - 1) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $12 x^{5} + 15 x^{4} - 40 x^{3} + 60$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$12 {(0)}^{5} + 15 {(0)}^{4} - 40 {(0)}^{3} + 60$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 + 15 {(0)}^{4} - 40 {(0)}^{3} + 60$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 + 15 {(0)}^{4} - 40 {(0)}^{3} + 60$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 15 \cdot 0 - 40 {(0)}^{3} + 60$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $15$ per $0$ .

$0 + 0 - 40 {(0)}^{3} + 60$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 - 40 \cdot 0 + 60$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 40$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + 60$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 60$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 60$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $60$ .

$60$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$12 {(1)}^{5} + 15 {(1)}^{4} - 40 {(1)}^{3} + 60$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 + 15 {(1)}^{4} - 40 {(1)}^{3} + 60$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + 15 {(1)}^{4} - 40 {(1)}^{3} + 60$

Passaggio 4.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 + 15 \cdot 1 - 40 {(1)}^{3} + 60$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $15$ per $1$ .

$12 + 15 - 40 {(1)}^{3} + 60$

Passaggio 4.2.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 + 15 - 40 \cdot 1 + 60$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 40$ per $1$ .

$12 + 15 - 40 + 60$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $12$ e $15$ .

$27 - 40 + 60$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $40$ da $27$ .

$- 13 + 60$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 13$ e $60$ .

$47$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$12 {(- 2)}^{5} + 15 {(- 2)}^{4} - 40 {(- 2)}^{3} + 60$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$12 \cdot - 32 + 15 {(- 2)}^{4} - 40 {(- 2)}^{3} + 60$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 32$ .

$- 384 + 15 {(- 2)}^{4} - 40 {(- 2)}^{3} + 60$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$- 384 + 15 \cdot 16 - 40 {(- 2)}^{3} + 60$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $15$ per $16$ .

$- 384 + 240 - 40 {(- 2)}^{3} + 60$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 384 + 240 - 40 \cdot - 8 + 60$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 40$ per $- 8$ .

$- 384 + 240 + 320 + 60$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 384$ e $240$ .

$- 144 + 320 + 60$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- 144$ e $320$ .

$176 + 60$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $176$ e $60$ .

$236$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 60), (1, 47), (- 2, 236)$

Passaggio 5