Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 16$ e $c = - 20$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.3

Somma $256$ e $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.4

Riscrivi $496$ come $4^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.3

Somma $256$ e $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.4

Riscrivi $496$ come $4^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 2.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.3

Somma $256$ e $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $496$ come $4^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Scomponi $16$ da $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 2.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $64$ .

$\frac{512 + 192 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.4

Moltiplica $2$ per $192$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.6

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (2^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

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Passaggio 4.1.2.1.4.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.8.5

Calcola l'esponente.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.9

Moltiplica $24 (4 \cdot 31)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.9.1

Moltiplica $4$ per $31$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.9.2

Moltiplica $24$ per $124$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.10

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 2^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.12

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{3}$ come $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.13

Eleva $31$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.14

Riscrivi $29791$ come $31^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.14.1

Scomponi $961$ da $29791$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.14.2

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.15

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.16

Moltiplica $31$ per $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Somma $512$ e $2976$ .

$\frac{3488 + 384 \sqrt{31} + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Somma $384 \sqrt{31}$ e $248 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.9

Riscrivi ${(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}$ come $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.10

Espandi $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 + 2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4

Moltiplica $2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4.2

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4.3

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.1.6

Moltiplica $4$ per $31$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.2

Somma $64$ e $124$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.11.3

Somma $16 \sqrt{31}$ e $16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.12

$- 8$ e $\frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.14

$- 20$ e $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $188$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $32$ per $- 8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.5

Moltiplica $- 1504$ per $3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.6

Moltiplica $3$ per $- 256$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.8

Moltiplica $- 20$ per $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.9

Moltiplica $2$ per $- 20$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.11

Moltiplica $- 160$ per $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.12

Moltiplica $9$ per $- 40$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $4512$ da $3488$ .

$\frac{- 1024 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $1440$ da $- 1024$ .

$\frac{- 2464 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sottrai $768 \sqrt{31}$ da $632 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 136 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.4

Sottrai $360 \sqrt{31}$ da $- 136 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.5

Riscrivi $- 2464$ come $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) - 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 + 496 \sqrt{31})}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $64$ .

$\frac{512 + 192 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Moltiplica $- 2$ per $192$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.6

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.7

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.8.5

Calcola l'esponente.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.9

Moltiplica $24 (4 \cdot 31)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.9.1

Moltiplica $4$ per $31$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.9.2

Moltiplica $24$ per $124$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.10

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.11

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.12

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{3}$ come $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.13

Eleva $31$ alla potenza di $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.14

Riscrivi $29791$ come $31^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.14.1

Scomponi $961$ da $29791$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.14.2

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.15

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4.16

Moltiplica $31$ per $- 8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $512$ e $2976$ .

$\frac{3488 - 384 \sqrt{31} - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Sottrai $248 \sqrt{31}$ da $- 384 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.9

Riscrivi ${(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}$ come $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.10

Espandi $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 - 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.11.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.3

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4

Moltiplica $- 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4.2

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4.3

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.1.6

Moltiplica $4$ per $31$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.2

Somma $64$ e $124$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.11.3

Sottrai $16 \sqrt{31}$ da $- 16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.12

$- 8$ e $\frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.14

$- 20$ e $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Passaggio 4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.2.5

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $188$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.3

Moltiplica $- 32$ per $- 8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 + 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.5

Moltiplica $- 1504$ per $3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.6

Moltiplica $3$ per $256$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.8

Moltiplica $- 20$ per $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.9

Moltiplica $- 2$ per $- 20$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 + 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.11

Moltiplica $- 160$ per $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.12

Moltiplica $9$ per $40$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Sottrai $4512$ da $3488$ .

$\frac{- 1024 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Sottrai $1440$ da $- 1024$ .

$\frac{- 2464 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Somma $- 632 \sqrt{31}$ e $768 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 136 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.4

Somma $136 \sqrt{31}$ e $360 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.5

Riscrivi $- 2464$ come $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) + 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 - 496 \sqrt{31})}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}), (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27})$

Passaggio 5