Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} + 6 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ .

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0 - 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{3}{2}$ a $x$ .

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

Passaggio 4.2.2.1.10.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.10.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.10.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

Passaggio 4.2.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{27}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{27}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 4.2.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Sottrai $108$ da $81$ .

$\frac{- 27 - 16}{16}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Sottrai $16$ da $- 27$ .

$\frac{- 43}{16}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{43}{16}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

Passaggio 5