Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.0602156, 2.42586556, 5.13435004$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 0.0602156$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 0.0602156$ a $x$ .

${(- 0.0602156)}^{4} - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 0.0602156$ alla potenza di $4$ .

$0.00001314 - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 0.0602156$ alla potenza di $3$ .

$0.00001314 - 10 \cdot - 0.00021833 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $- 0.00021833$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $- 0.0602156$ alla potenza di $2$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 \cdot 0.00362591 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $24$ per $0.00362591$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 0.0602156$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0.00001314$ e $0.00218336$ .

$0.00219651 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0.00219651$ e $0.08702206$ .

$0.08921857 - 0.18064681 + 5$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sottrai $0.18064681$ da $0.08921857$ .

$- 0.09142824 + 5$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $- 0.09142824$ e $5$ .

$4.90857175$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2.42586556$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2.42586556$ a $x$ .

${(2.42586556)}^{4} - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2.42586556$ alla potenza di $4$ .

$34.63115044 - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2.42586556$ alla potenza di $3$ .

$34.63115044 - 10 \cdot 14.27579126 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $14.27579126$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $2.42586556$ alla potenza di $2$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 \cdot 5.88482373 + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $24$ per $5.88482373$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 3 (2.42586556) + 5$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $3$ per $2.42586556$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $142.75791264$ da $34.63115044$ .

$- 108.1267622 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 108.1267622$ e $141.23576974$ .

$33.10900753 + 7.27759669 + 5$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $33.10900753$ e $7.27759669$ .

$40.38660422 + 5$

Passaggio 4.2.2.2.4

Somma $40.38660422$ e $5$ .

$45.38660422$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 5.13435004$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $5.13435004$ a $x$ .

${(5.13435004)}^{4} - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $5.13435004$ alla potenza di $4$ .

$694.93133641 - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $5.13435004$ alla potenza di $3$ .

$694.93133641 - 10 \cdot 135.34942707 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $135.34942707$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $5.13435004$ alla potenza di $2$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 \cdot 26.36155034 + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $24$ per $26.36155034$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 3 (5.13435004) + 5$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $3$ per $5.13435004$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $1353.49427072$ da $694.93133641$ .

$- 658.5629343 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- 658.5629343$ e $632.67720819$ .

$- 25.88572611 + 15.40305012 + 5$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $- 25.88572611$ e $15.40305012$ .

$- 10.48267598 + 5$

Passaggio 4.3.2.2.4

Somma $- 10.48267598$ e $5$ .

$- 5.48267598$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(- 0.0602156, 4.90857175), (2.42586556, 45.38660422), (5.13435004, - 5.48267598)$

Passaggio 5