Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y - 3$ e $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $y^{2} - 3 y + 9$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 3 y + 9$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $9$ rispetto a $y$ è $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $2 y - 3$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Espandi $(- y + 3) (2 y - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.2

Somma $3 y$ e $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Somma $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Somma $- 3 y$ e $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Scomponi $y$ da $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Riscrivi $- (y - 6)$ come $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (y - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $y (y - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Passaggio 2.3.1.2.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi $y$ da $y^{2} - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Scomponi $y$ da $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Passaggio 2.3.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

Passaggio 2.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Passaggio 2.3.4

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.3.5

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6$

Passaggio 2.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 6) = 0$ vera.

$y = 0, 6$

Passaggio 3

Risolvi $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Passaggio 3.2

Elenca tutti i punti.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Passaggio 4