Calcolo Esempi

$f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{5}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $6$ alla sinistra di ${(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot ({(x - 3)}^{5} x^{5})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ da $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Scomponi $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ da $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Scomponi $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ da $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

Passaggio 1.1.4.1.3

Scomponi $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ da $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{5} = 0$

${(x - 3)}^{4} = 0$

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{5}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{5}$ uguale a $0$ .

$x^{5} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{5} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 3)}^{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 3)}^{4}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{4} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 3)}^{4} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $5 x + 6 (x - 3)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $5 x + 6 (x - 3)$ uguale a $0$ .

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $5 x + 6 (x - 3) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica $5 x + 6 (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 6 x + 6 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$5 x + 6 x - 18 = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Somma $5 x$ e $6 x$ .

$11 x - 18 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$11 x = 18$

Passaggio 2.5.2.3

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = 18$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Passaggio 2.5.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{18}{11}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ vera.

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{6} {(x - 3)}^{5}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{6} {((0) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 {((0) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$0 {(- 3)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$0 \cdot - 243$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $- 243$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

${(3)}^{6} {((3) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$729 {((3) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$729 \cdot 0^{5}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$729 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $729$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{18}{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{18}{11}$ .

${(\frac{18}{11})}^{6} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{18}{11}$ .

$\frac{18^{6}}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.2

Eleva $18$ alla potenza di $6$ .

$\frac{34012224}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $11$ alla potenza di $6$ .

$\frac{34012224}{1771561} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.4

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} - 3 \cdot \frac{11}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.5

$- 3$ e $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} + \frac{- 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.7.1

Moltiplica $- 3$ per $11$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 33}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.7.2

Sottrai $33$ da $18$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{- 15}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{34012224}{1771561} {(- \frac{15}{11})}^{5}$

Passaggio 4.3.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} {(\frac{15}{11})}^{5})$

Passaggio 4.3.2.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Passaggio 4.3.2.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Passaggio 4.3.2.11

Eleva $15$ alla potenza di $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{11^{5}})$

Passaggio 4.3.2.12

Eleva $11$ alla potenza di $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$

Passaggio 4.3.2.13

Moltiplica $\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.13.1

Moltiplica $\frac{34012224}{1771561}$ per $\frac{759375}{161051}$ .

$- \frac{34012224 \cdot 759375}{1771561 \cdot 161051}$

Passaggio 4.3.2.13.2

Moltiplica $34012224$ per $759375$ .

$- \frac{25828032600000}{1771561 \cdot 161051}$

Passaggio 4.3.2.13.3

Moltiplica $1771561$ per $161051$ .

$- \frac{25828032600000}{285311670611}$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (3, 0), (\frac{18}{11}, - \frac{25828032600000}{285311670611})$

Passaggio 5