Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

Passaggio 2.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $5$ da $5 u^{2} - 15 u - 20$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $5$ da $5 u^{2}$ .

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $5$ da $- 15 u$ .

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $5$ da $- 20$ .

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.3.1.4

Scomponi $5$ da $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ .

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.3.1.5

Scomponi $5$ da $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ .

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi.

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Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $u^{2} - 3 u - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 2.3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

Passaggio 2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 2.6

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 4, - 1$

Passaggio 2.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Passaggio 2.9

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.10

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.10.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 2.10.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.10.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.10.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.10.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.10.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.11

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Passaggio 2.12

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.12.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.12.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.12.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.12.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.12.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 2.13

La soluzione di $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ è $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$32 - 40 - 40 - 2$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $40$ da $32$ .

$- 8 - 40 - 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $40$ da $- 8$ .

$- 48 - 2$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sottrai $2$ da $- 48$ .

$- 50$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 8$ .

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $- 2$ .

$- 32 + 40 + 40 - 2$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 32$ e $40$ .

$8 + 40 - 2$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $8$ e $40$ .

$48 - 2$

Passaggio 4.2.2.2.3

Sottrai $2$ da $48$ .

$46$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

Passaggio 5