Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $5 x^{4} - 30 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 30 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$5 u^{2} - 30 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $5 u$ da $5 u^{2} - 30 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $5 u$ da $5 u^{2}$ .

$5 u (u) - 30 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $5 u$ da $- 30 u$ .

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $5 u$ da $5 u (u) + 5 u (- 6)$ .

$5 u (u - 6) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 6$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 - 8$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 + 0 - 8$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 8$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{6}$ .

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{5}$ come $\sqrt{6^{5}}$ .

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi $7776$ come $36^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Scomponi $1296$ da $7776$ .

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi $1296$ come $36^{2}$ .

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{3}$ come $\sqrt{6^{3}}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.7

Riscrivi $216$ come $6^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Scomponi $36$ da $216$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6} - 8$

Passaggio 4.2.2.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6}) - 8$

Passaggio 4.2.2.1.9

Moltiplica $6$ per $- 10$ .

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6} - 8$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $60 \sqrt{6}$ da $36 \sqrt{6}$ .

$- 24 \sqrt{6} - 8$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $- \sqrt{6}$ .

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{6}$ .

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{5}$ come $\sqrt{6^{5}}$ .

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.5

Riscrivi $7776$ come $36^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Scomponi $1296$ da $7776$ .

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Riscrivi $1296$ come $36^{2}$ .

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.7

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Passaggio 4.3.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{6}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{3}$ come $\sqrt{6^{3}}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.11

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.12

Riscrivi $216$ come $6^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.12.1

Scomponi $36$ da $216$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.12.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6})) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.14

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6}) - 8$

Passaggio 4.3.2.1.15

Moltiplica $- 6$ per $- 10$ .

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6} - 8$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- 36 \sqrt{6}$ e $60 \sqrt{6}$ .

$24 \sqrt{6} - 8$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 8), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6} - 8), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6} - 8)$

Passaggio 5